Sedersi sulle sponde di un fiume e volgere il proprio sguardo verso l’altra riva può essere uno dei modi migliori di rilassarsi e contemplare la natura, ma al contempo, anche se sembra strano, può permettere la previsione del prezzo di un titolo finanziario. La metafora, all’apparenza alquanto ardita, offre uno spunto sulla relazione esistente fra due ambiti in principio lontanissimi, ossia fluidodinamica e finanza, e di come vi possa essere uno sviluppo di metodi matematici comuni per l’analisi di queste due affascinanti branche del sapere.
Come possiamo studiare il prezzo di un’azione tramite lo studio del moto di una goccia d’acqua, o di un vortice creatosi nell’oceano, o più semplicemente del fumo di una sigaretta in una stanza chiusa? Per rispondere a questa strana domanda occorre introdurre brevemente la fluidodinamica (letteralmente dinamica dei fluidi), ossia quel ramo della fisica e della matematica che analizza l’evoluzione del moto dei fluidi (ovvero liquidi e gas) nel tempo. I metodi derivanti dalla fluidodinamica trovano sovente applicazione nella vita quotidiana, dall’urbanistica, per progettazione di strutture ed analisi del flusso di persone durante grandi eventi, ai GPS, essendovi un parallelo con la relatività ristretta, finanche alla costruzione degli aeroplani.
La fluidodinamica
Abbiamo appena rovesciato un contenitore d’inchiostro nero in un fiume e vogliamo studiare il movimento delle macchioline nere, come facciamo? Memore del Pánta rheî eraclitiano, la fluidodinamica ci offre due punti di vista differenti per l’analisi dello stesso problema, quello lagrangiano e quello euleriano. L’approccio inventato dal matematico italo-francese Lagrange consiglia di studiare la macchia nera muovendosi con essa nel fiume, seguendo ogni singola particella d’inchiostro su una barca; il suo collega svizzero Eulero, invece, preferisce rimanere fermo su una sponda del fiume, fotografando l’intera macchia d’inchiostro ad un preciso istante, ivi analizzandone il comportamento.
Dal punto di vista matematico l’approccio euleriano è di gran lunga il più semplice ed il più diffuso, ed è alla base delle equazioni costituenti della fluidodinamica, fra cui l’equazione di continuità, ma soprattutto delle equazioni di Navier-Stokes. Queste ultime rappresentano un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali descriventi il moto di un fluido continuo nel tempo, come il gas nelle tubature di riscaldamento o l’aria sotto l’ala di un aereo. Queste equazioni, inoltre, hanno una grande rilevanza storica, dal momento che costituiscono uno dei sette problemi del millennio, ossia sette quesiti matematici irrisolti la cui risoluzione comporta un premio di 1 milione di dollari.
La fluidodinamica e l’equazione di Black-Scholes
Strano a dirsi, ma esiste una stretta relazione fra le equazioni di Navier-Stokes (NS) e la omologa di Black-Scholes (BS), celebre agli appassionati di finanza perché descrive l’evoluzione del prezzo di un’opzione call di tipo europeo nel tempo. Questa correlazione si esplica sia a livello di forma matematica, avendo entrambe le equazioni una forma simile, sia per quanto concerne i metodi di risoluzione.
Senza entrare nel merito matematico, esse sono entrambe PDE (Partial Differential Equations), il ramo di equazioni più difficili da risolvere; avendo una struttura simile si può osservare nei due casi una corrispondenza di termini. Se in NS vi è una variazione nel tempo della velocità di un fluido, in BS è il prezzo di un’opzione a variare; in NS vi è un termine che descrive la viscosità del fluido, avente forma e posizione alquanto simile alla volatilità, o rischio, in BS.
Nelle due equazioni, inoltre, vi sono due termini che si evolvono tramite il ‘random walk’, un sistema fisico la cui propagazione nel tempo avviene in maniera casuale; per immaginare questo fenomeno basti pensare alla passeggiata di un ubriaco, il quale ha le medesime probabilità di cadere da qualsiasi parte nello spazio circostante.
Come accennato prima, un’altra analogia fra questi due sistemi è la via di risoluzione, spesso in maniera numerica e sotto condizioni al contorno matematiche particolari; esiste un ramo chiamato ‘fluidodinamica computazionale’ che si occupa esattamente di questo.
Un approccio multidisciplinare
In conclusione possiamo osservare una certa vicinanza fra analisti finanziari che lavorano in fondi speculativi e ricercatori universitari di fluidodinamica teorica; magari non chiederemo ai primi di calcolarci la turbolenza o la viscosità di un fluido, oppure ai secondi il rischio di un azione, ma con una preparazione matematica da parte di entrambi si potrebbe ottenere un fruttuoso confronto.
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