I primi mesi del 2020 sono tristemente segnati dalla pandemia dovuta alla diffusione del Covid-19, malattia provocata dal virus SARS-CoV-2, appartenente alla famiglia dei Coronavirus. Provenienti dal mondo animale, essi possono provocare nell’uomo una serie di sintomi di gravità crescente, da un banale raffreddore fino alla polmonite, e nei casi più gravi anche la morte. I dati ufficiali alla prima metà di marzo 2020 dicono che l’Italia è il secondo paese al mondo, dopo la Cina, per numero di infetti complessivi dall’inizio dell’emergenza. Ciò ha spinto il Governo a varare misure restrittive per tentare di contenere la propagazione del virus.
La domanda che sovviene è quindi la seguente: esistono dei modelli matematici per analizzare la diffusione delle malattie infettive? Quali algoritmi possono dirci se e quando il Coronavirus si arresterà?
I modelli matematici
La risposta a queste domande non è né banale, né univoca. Cercheremo di fare un po’ di ordine accennando ai modelli – provenienti dalla fisica statistica e dalla biofisica – utilizzati da medici, fisici e matematici per studiare l’avanzamento delle epidemie.
Immaginiamo un fenomeno la cui evoluzione temporale venga descritta da una serie di probabilità che si aggiornano ad ogni intervallo di tempo fissato, ad esempio la percentuale di batteri nati e morti in una cellula ad ogni secondo. Il passaggio fra uno stato e il successivo viene determinato da una matrice, definita istante per istante da un set di equazioni differenziali stocastiche denominate master equations, usate in chimica, fisica, medicina o in finanza per studiare il comportamento istantaneo di un dato processo.
Un altro modello utile è offerto dalla equazione di Fokker-Planck, basata sull’analisi dei moti browniani, usati per la descrizione della densità di probabilità di una particella, come una goccia d’inchiostro in un bicchiere d’acqua, e comunemente studiati in finanza quantitativa, oppure in modelli climatici per la previsione di determinate variabili termodinamiche come la temperatura o la pressione.
I modelli di diffusione delle malattie
Tornando più nello specifico sulla diffusione di malattie infettive, esistono diversi modelli matematici che permettono la valutazione quantitativa di parametri come il numero di contagiati per ogni malato o la probabilità di contrarre il virus per persona, e che quindi possono offrire ai governi indicazioni su quali iniziative intraprendere.
Prendiamo un caso reale, ossia la città di Wuhan in Cina, dalla quale si è diffusa l’epidemia di Covid-19, e costruiamo un modello comportamentale che ci aiuti a capire la propagazione della malattia nel tempo. Il modello sarà fortemente dipendente dalle condizioni iniziali, in questo caso il numero di persone all’interno dell’area metropolitana, la loro distribuzione geografica, e soprattutto la disposizione dei nuclei abitativi dei singoli individui.
Molto diffuso per questi studi è il cosiddetto modello SIR, con le sue estensioni che vedremo a breve; esso è alla base di alcuni algoritmi sviluppati fra l’altro da un team di matematici, fisici e medici dell’ASL di Milano per l’individuazione del paziente zero, dal quale si sarebbe propagata l’epidemia. Il termine SIR è la crasi di tre variabili temporali, definite sotto l’assunzione che l’intera popolazione sia divisa nelle seguenti categorie:
- S(t) indica il numero di persone suscettibili alla malattia, ossia quelle non ancora infette ma con possibilità non nulla di contrarla;
- I(t) indica il numero di persone infette, con possibilità di trasmissione a chi sta intorno e quindi di diffusione del contagio;
- R(t) indica il numero di individui infetti che non possono più diffondere la malattia, perché messi in quarantena o perché deceduti.
Il modello SIR valuta l’evoluzione di questi tre parametri nel tempo con l’utilizzo di formule ricorsive, ovvero formule in cui una determinata quantità ad un certo tempo dipende solamente dal valore della stessa a tempi precedenti.
Partendo da dati reali, quindi, si analizzano il tasso netto di riproduzione R0, ossia il numero medio di individui – appartenenti alla classe dei suscettibili S(t) – contagiati da ogni persona malata durante il suo periodo di infezione, oppure il tasso di mobilità da un luogo A ad un luogo B per ogni categoria di persone. Con algoritmi simili a quello della master equation, quindi con equazioni differenziali ordinarie e stocastiche, si effettuano delle simulazioni computerizzate dividendo il centro urbano in griglie e analizzando in ogni tassello le grandezze precedentemente descritte, stimando così valori come il tasso di incubazione del virus o la percentuale di mortalità.
Il modello SIR può essere ovviamente adeguato alla specifica malattia che deve analizzare: ad esempio, studiando la diffusione del morbillo si introduce la nuova classe M(t) che include i neonati che, nei primi mesi di vita, sono meno suscettibili all’infezione grazie alla protezione passiva trasmessa dagli anticorpi della mamma (in tal caso si parla di modello MSIR). Un’altra estensione è il modello SEIS, in cui si introduce un’ulteriore categoria che descrive gli individui in cui la malattia è latente, quindi asintomatica per il contraente ma potenzialmente pericolosa per le persone suscettibili.
Lo studio della diffusione di malattie infettive è ancora un problema aperto, anche perché l’evoluzione della società, e in particolare il miglioramento della mobilità e dei trasporti insieme con la continua urbanizzazione, rende sempre più facile la diffusione di virus pericolosi. Per migliorare la prevenzione, soprattutto in giorni difficili come questi, bisogna porre molta più attenzione del solito nei consueti gesti quotidiani, ma soprattutto avere fiducia nel mondo scientifico, il quale lavora su tutti i fronti e senza sosta per migliorare le condizioni di vita dell’essere umano.
