Chi non ha mai sentito almeno una volta nominare la parola frattale? Si tratta di oggetti geometrici dotati della proprietà di autosomiglianza, ossia di ripetizione della loro forma su diverse scale di tempo o di spazio. La loro presenza è molto frequente in natura in tutti gli oggetti in cui la struttura viene conservata modificando l’ingrandimento di osservazione, come nel caso di una montagna, la cui forma viene sovente ripetuta dalle pietre che si trovano alla sua base. Altri esempi di frattali sono i rami degli alberi, le cui sagome riproducono quasi esattamente la forma della pianta stessa, le conchiglie di mare, i fiocchi di neve, i fulmini, la coda di un pavone, i broccoli, e tantissimi altri.
Uno dei quesiti che ha di più arrovellato le meningi di generazioni di matematici del ‘900 è stato come rappresentare in forma matematica questi miracoli della natura, arrivando ad una svolta negli anni ’70 grazie al matematico polacco Benoit Mandelbrot, considerato uno dei più grandi contributori alla geometria frattale, i cui studi hanno influenzato tantissimi rami del sapere, dalla neurologia alla teoria del caos, dalla finanza alla meccanica statistica, dalla meteorologia allo studio della grafica computerizzata.
I frattali
Per comprendere l’importanza dei frattali e la loro applicazione in ambito finanziario occorre effettuare un passo indietro, partendo dall’etimologia del nome. Il termine frattale deriva dal latino “fractus“, ossia frazionario, ed indica la dimensione di tali oggetti (chiamata anche dimensione di Haussdorf), non intera come accade nel mondo che siamo abituati ad osservare. La dimensione di un segmento è 1, di un quadrato 2 e di un cubo 3; ebbene, i frattali hanno dimensione compresa fra 1 e 2 in base alla loro forma. I frattali con dimensione più vicina ad 1 tendono ad assomigliare ad una curva, mentre quelli con dimensione vicina a 2 tendono ad occupare tutto lo spazio circostante.
L’immagine di seguito, prodotta da computer tramite complesse iterazioni matematiche, illustra i cosiddetti insiemi di Mandelbrot e di Julia.
Un esempio di frattale molto famoso è, inoltre, la curva di Koch: a cosa assomiglia?
Se avete pensato ad un fiocco di neve, avete indovinato! Molti matematici infatti utilizzano l’equazione alla base di questa curva per studiare la forma dei fiocchi, riuscendo a ricavare informazioni dettagliate sul clima e sulle previsioni meteorologiche.
Frattali e finanza
Lo studio dei frattali ha influenzato anche l’economia, dal momento che Mandelbrot, analizzando le fluttuazioni giornaliere del prezzo del cotone venduto a New York nei cento anni precedenti, ritrovò ripetizioni di andamenti simili del suddetto prezzo in periodi diversi. Un chiaro esempio di presenza di geometria frattale in economia può essere osservato inoltre analizzando la rete di trasferimento quotidiano di denaro fra banche.
In Giappone, ad esempio, tutti questi trasferimenti interbancari di denaro avvengono tramite una speciale rete informatica fornita dalla Banca del Giappone, la quale registra ed analizza i dati dettagliati del trasferimento di denaro effettivo tra le banche. La quantità totale di flusso di denaro tra le banche giapponesi in un giorno è di circa 30 mila miliardi di yen, con un numero di transazioni giornaliere pari a circa 10 mila. Analizzando la corrispondenza fra queste due grandezze si può osservare un comportamento molto simile al caso precedente del prezzo del cotone.
